미적분 예제

$\int \sin^{3} (x) \cos^{4} (x) d x$

단계 1

$\sin^{2} (x)$ 로 인수분해합니다.

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) \cos^{4} (x) d x$

단계 2

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sin^{2} (x)$ 를 $1 - \cos^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) \cos^{4} (x) d x$

단계 3

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (- 1 + u^{2}) u^{4} d u$

단계 4

$(- 1 + u^{2}) u^{4}$ 을 곱합니다.

$\int - 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1 u^{4}$ 을 $- u^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int - u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

단계 5.2

지수를 더하여 $u^{2}$ 에 $u^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int - u^{4} + u^{2 + 4} d u$

단계 5.2.2

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\int - u^{4} + u^{6} d u$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - u^{4} d u + \int u^{6} d u$

단계 7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int u^{4} d u + \int u^{6} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{6} d u$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{6}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} u^{7}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{1}{5}$ 와 $u^{5}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

단계 10.2

간단히 합니다.

$- \frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + \frac{1}{7} \cos^{7} (x) + C$