미적분 예제

$\int_{0}^{3} x \sqrt{9 - x^{2}} d x$

단계 1

먼저 $u = 9 - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 9 - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$9 - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $9 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 1.2

$u = 9 - x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 9 - 0^{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 9 - 0$

단계 1.3.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 9 + 0$

단계 1.3.2

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 9$

단계 1.4

$u = 9 - x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 9 - 3^{2}$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 9 - 1 \cdot 9$

단계 1.5.1.2

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 9 - 9$

단계 1.5.2

$9$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 0$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 0$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{9}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{9}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 2.2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{9}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{9}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{2} \int_{9}^{0} \sqrt{u} d u)$

단계 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} \int_{9}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{0}$

단계 7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$0$ , $9$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

단계 7.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

단계 7.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

단계 7.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

단계 7.2.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

단계 7.3

$\frac{2}{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

단계 7.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 7.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 7.4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 7.4.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

단계 7.4.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 27)$

단계 7.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$27$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (0 - 27 (\frac{2}{3}))$

단계 7.5.2

$- 27$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

단계 7.5.3

$- 27$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 54}{3})$

단계 7.5.4

$- 54$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.4.1

$- 54$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

단계 7.5.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.4.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

단계 7.5.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

단계 7.5.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 18}{1})$

단계 7.5.4.2.4

$- 18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{1}{2} (0 - 18)$

단계 7.6

$0$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2} \cdot - 18$

단계 7.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.1

$- 18$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$18 (\frac{1}{2})$

단계 7.7.2

$18$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{18}{2}$

단계 7.7.3

$18$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.1

$18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

단계 7.7.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

단계 7.7.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

단계 7.7.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9}{1}$

단계 7.7.3.2.4

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9$