미적분 예제

$\int x e^{3 x} d x$

단계 1

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 1.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 1.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{u}{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{u}{3}$ 와 $e^{u}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u e^{u}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.2

$\frac{u e^{u}}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u e^{u}}{3 \cdot 3} d u$

단계 2.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u e^{u}}{9} d u$

단계 3

$\frac{1}{9}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} \int u e^{u} d u$

단계 4

$w = u$ 이고 $dv = e^{u}$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{9} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

단계 5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{9} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

단계 6

간단히 합니다.

$\frac{1}{9} (u e^{u} - e^{u}) + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x} - e^{3 x}) + C$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

단계 8.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3 (3)} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

단계 8.2.2

$3 x e^{3 x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3 (3)} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

단계 8.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3 \cdot 3} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

단계 8.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} (x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

단계 8.3

$x$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{3} e^{3 x} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

단계 8.4

$\frac{x}{3}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x e^{3 x}}{3} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

단계 8.5

$\frac{1}{9}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9} + C$

단계 9

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$