미적분 예제

$\int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

단계 1

$x^{8}$ 을 ${(x^{4})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

단계 2

먼저 $u = x^{4}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 x^{3} d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = x^{4}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$x^{4}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3}$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{1 + u^{2}}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

단계 3.2

$1 + u^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

단계 5

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

단계 6

$\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\arctan (u) + C$ 입니다.

$\frac{1}{4} (\arctan (u) + C)$

단계 7

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} \arctan (u) + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} \arctan (x^{4}) + C$