미적분 예제

$\int 2 x \sqrt{x - 5} d x$

단계 1

먼저 $u = x - 5$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = x - 5$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x - 5$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.1.4

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int 2 (u + 5) \sqrt{u} d u$

단계 2

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int (u + 5) \sqrt{u} d u$

단계 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 \int (u + 5) u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4

$(u + 5) u^{\frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \int u^{1 + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$2 \int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.6

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \int u^{\frac{3}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.7

$u^{\frac{3}{2}}$ 와 $5 u^{\frac{1}{2}}$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \int 5 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 (\int 5 u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

단계 6

$5$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (5 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$\frac{2}{3}$ 와 $u^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

단계 9.1.2

$\frac{2}{5}$ 와 $u^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

단계 9.2

간단히 합니다.

$2 (\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 9.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 (\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $x - 5$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{10}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.1.1

$\frac{10}{3}$ 와 ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 11.1.2

$\frac{2}{5}$ 와 ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 11.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 11.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

단계 11.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 11.4.1

$\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

단계 11.4.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

단계 11.4.3

$\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

단계 11.4.4

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

단계 11.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

단계 11.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.6.1

$10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3$ 에서 $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.6.1.1

수식을 다시 정렬합니다.

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단계 11.6.1.1.1

${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 를 옮깁니다.

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

단계 11.6.1.1.2

${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ 를 옮깁니다.

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

단계 11.6.1.2

$10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

단계 11.6.1.3

$2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ 에서 $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

단계 11.6.1.4

$2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})$ 에서 $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

단계 11.6.2

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

단계 11.6.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.6.3.1

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{1})}{15} + C$

단계 11.6.3.2

간단히 합니다.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 (x - 5))}{15} + C$

단계 11.6.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x + 3 \cdot - 5)}{15} + C$

단계 11.6.3.4

$3$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x - 15)}{15} + C$

단계 11.6.4

$25$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$

단계 11.7

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ 을 곱합니다.

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단계 11.7.1

$2$ 와 $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

단계 11.7.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 ({(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

$\frac{4 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$