미적분 예제

$\int_{1}^{3} (x + 1) e^{x^{2} + 2 x} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{2} + 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (2 x + 2) d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{2} + 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} + 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 2 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + 2$

단계 1.2

$u = x^{2} + 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1^{2} + 2 \cdot 1$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 1$

단계 1.3.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 1 + 2$

단계 1.3.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 3$

단계 1.4

$u = x^{2} + 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3^{2} + 2 \cdot 3$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 3$

단계 1.5.1.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 9 + 6$

단계 1.5.2

$9$ 를 $6$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 15$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 15$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{3}^{15} e^{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{3}^{15} \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{15} e^{u} d u$

단계 4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{2} e^{u}]_{3}^{15}$

단계 5

$15$ , $3$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} (e^{15} - e^{3})$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{2} \cdot (e^{15} - e^{3})$

소수 형태:

$1634498.64346759$