미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

단계 1

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 1.2

$u = \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (0)$

단계 1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

단계 1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

단계 2

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

단계 4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{2}$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{4} u^{4}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{1}{4}$ 을 $4^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- ({(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- (2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2.5

$\frac{1}{2}$ 을 $2^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2.6

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2.7

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- (2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2.9

${(2^{- 1})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.9.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2.9.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- (2^{- 2 - 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2.11

$- 2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- (2^{- 6} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- (\frac{1}{2^{6}} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.2.13

$2$ 를 $6$ 승 합니다.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

단계 4.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4})$

단계 4.4

간단히 합니다.

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단계 4.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{16})$

단계 4.4.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $64$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.4.2.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{4 \cdot 16})$

단계 4.4.2.2

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{64})$

단계 4.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1 - 16}{64}$

단계 4.4.4

$1$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$- \frac{- 15}{64}$

단계 4.4.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- - \frac{15}{64}$

단계 4.5

간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{15}{64})$

단계 4.5.2

$\frac{15}{64}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{15}{64}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{15}{64}$

소수 형태:

$0.234375$