미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

단계 1

먼저 $u = \cos (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (t) d t$ 이므로 $- d u = \sin (t) d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = \cos (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\cos (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

단계 1.1.2

$\cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- \sin (t)$ 입니다.

$- \sin (t)$

단계 1.2

$u = \cos (t)$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (0)$

단계 1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = \cos (t)$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{4})$

단계 1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

단계 2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 4.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 4.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{- 2} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$- (- u^{- 1}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

단계 6

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $1$ 일 때, $- u^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$- ((- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

단계 7

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1^{- 1})$

단계 8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

소수 형태:

$0.41421356 \dots$