미적분 예제

$\int x^{3} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

단계 1

먼저 $u = 4 - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 4 - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$4 - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {\sqrt{- u + 4}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

${\sqrt{- u + 4}}^{2}$ 을 $- u + 4$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{- u + 4}$ 을(를) ${(- u + 4)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int {({(- u + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int {(- u + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int {(- u + 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int {(- u + 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int {(- u + 4)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.5

간단히 합니다.

$\int (- u + 4) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (- u + 4) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 2.3

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int (- u + 4) (- \frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int (- u + 4) (\frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \int (- u + 4) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \int - u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.2

$- u$ 와 $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.3

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.4

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.8

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.9

$4$ 와 $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{4 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{4 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 6.2

$4 u^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (2 u^{\frac{1}{2}})}{2} d u$

단계 6.3

공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (2 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} d u$

단계 6.3.2

공약수로 약분합니다.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (2 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} d u$

단계 6.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 u^{\frac{1}{2}}}{1} d u$

단계 6.3.4

$2 u^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- (\int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int 2 u^{\frac{1}{2}} d u)$

단계 8

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (- \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int 2 u^{\frac{1}{2}} d u)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u) + \int 2 u^{\frac{1}{2}} d u)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int 2 u^{\frac{1}{2}} d u)$

단계 11

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

단계 13

간단히 합니다.

$- (- \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$- (- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

단계 15

$u$ 를 모두 $4 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- (- \frac{1}{5} {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 16.1.1

${(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

단계 16.1.2

$\frac{4}{3}$ 와 ${(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

단계 16.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

단계 16.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

단계 16.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 16.4.1

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

단계 16.4.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

단계 16.4.3

$\frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5}) + C$

단계 16.4.4

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15}) + C$

단계 16.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{- {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3 + 4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

단계 16.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.6.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + 4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

단계 16.6.2

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

단계 16.7

$- 3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

단계 16.8

$20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

단계 16.9

$- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

단계 16.10

$- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ 을 $- 1 (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{- 1 (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

단계 16.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- - \frac{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

단계 16.12

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

단계 16.13

$\frac{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

단계 17

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{15} (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$