미적분 예제

$\int x^{3} \sqrt{1 + x^{2}} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 1.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {\sqrt{u - 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1

간단히 합니다.

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단계 2.1.1

${\sqrt{u - 1}}^{2}$ 을 $u - 1$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u - 1}$ 을(를) ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int {(u - 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int {(u - 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int {(u - 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.1.5

간단히 합니다.

$\int (u - 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{u}$ 을 묶습니다.

$\int (u - 1) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

단계 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int (u - 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.2

$u$ 와 $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.3

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.7

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 4

$- 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 $- \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 8

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 11.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 을 $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 11.3

간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 11.3.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 11.3.3

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 11.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 11.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 11.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} {(1 + x^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$