미적분 예제

$\int (3 y - 1) \sqrt{3 y^{2} - 2 y} d y$

단계 1

먼저 $u = 3 y^{2} - 2 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (6 y - 2) d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = (3 y - 1) d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 3 y^{2} - 2 y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$3 y^{2} - 2 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} - 2 y]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $3 y^{2} - 2 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 y^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 y + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 y$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$6 y - 2 \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 y - 2 \cdot 1$

단계 1.1.4.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 y - 2$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 을 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 을 $\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $3 y^{2} - 2 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(3 y^{2} - 2 y)}^{\frac{3}{2}} + C$