미적분 예제

$\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} d x$

단계 1

분수 $\frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 4

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C$ 입니다.

$\arctan (x) + C + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 5

먼저 $u = 1 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = 1 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$1 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 5.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 6.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

단계 9

간단히 합니다.

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$