미적분 예제

$\int (5 x^{2} - 3) (2 x) d x$

단계 1

$5 x^{2} - 3$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int 2 (5 x^{2} - 3) x d x$

단계 2

먼저 $u = 2 (5 x^{2} - 3)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 20 x d x$ 이므로 $\frac{1}{20} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 2 (5 x^{2} - 3)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$2 (5 x^{2} - 3)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 (5 x^{2} - 3)]$

단계 2.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 (5 x^{2} - 3)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

단계 2.1.3

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$2 (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.1.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.1.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.1.6

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$2 (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.1.7

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$2 (10 x + 0)$

단계 2.1.8

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.8.1

$10 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (10 x)$

단계 2.1.8.2

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$20 x$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u \frac{1}{20} d u$

단계 3

$u$ 와 $\frac{1}{20}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u}{20} d u$

단계 4

$\frac{1}{20}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{20}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{20} \int u d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ 을 $\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

단계 6.2

$\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ 을 $\frac{1}{40} u^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{40} u^{2} + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $2 (5 x^{2} - 3)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{40} {(2 (5 x^{2} - 3))}^{2} + C$