미적분 예제

$\int x \sqrt{1 - x} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 - x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 1 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 1$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - (- u + 1) \sqrt{u} d u$

단계 2

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int (- u + 1) \sqrt{u} d u$

단계 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4

$(- u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \int - u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.2

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$- \int - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.3

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \int - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \int - u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \int - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \int - u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.7

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.8

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4.9

$- u^{\frac{3}{2}}$ 와 $u^{\frac{1}{2}}$ 을 다시 정렬합니다.

$- \int u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

단계 7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

단계 9

간단히 합니다.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.1.1

$\frac{2}{3}$ 와 ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 11.1.2

${(1 - x)}^{\frac{5}{2}}$ 와 $\frac{2}{5}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

단계 11.1.3

${(1 - x)}^{\frac{5}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 11.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 11.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

단계 11.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 11.4.1

$\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

단계 11.4.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

단계 11.4.3

$\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

단계 11.4.4

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

단계 11.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

단계 11.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.6.1

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

단계 11.6.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

단계 12

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{15} (10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$