미적분 예제

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x - 1} d x$

단계 1

먼저 $u = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u = x - 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 - 1$

단계 1.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = x - 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 - 1$

단계 1.5

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{1} (u + 1) \sqrt{u} d u$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{0}^{1} (u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3

$(u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.6

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.7

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

단계 7

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$ 와 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

단계 8

식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 8.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2}{5} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 8.3

$\frac{2}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 8.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 8.5

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 9.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 9.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 9.3.1

$\frac{2}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 9.3.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 9.3.3

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 9.3.4

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 9.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 9.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.5.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 9.5.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + 10}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 9.5.3

$6$ 를 $10$ 에 더합니다.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 10.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 10.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 10.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{5} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 10.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 11

$\frac{2}{5}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 12.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 12.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 12.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

단계 12.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

단계 13

식을 간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{2}{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{15} - (0 + 0)$

단계 13.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{16}{15} - 0$

단계 13.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{15} + 0$

단계 13.4

$\frac{16}{15}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{16}{15}$

단계 14

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{16}{15}$

소수 형태:

$1.0\overline{6}$

대분수 형식:

$1 \frac{1}{15}$