미적분 예제

$\int \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{3}} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 2.2

$\frac{1}{u^{3}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int - \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

단계 2.3

$u^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int - \frac{1}{2 u^{3}} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

$u^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

단계 5.2

${(u^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

단계 5.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- 3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ 을 $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

단계 7.2

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ 을 $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

단계 7.3

간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$u^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

단계 7.3.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

단계 7.3.3

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

단계 7.3.4

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2 u^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

단계 7.3.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 u^{2}} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4 {(1 - x^{2})}^{2}} + C$