미적분 예제

$\int \sqrt{25 - x^{2}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 5 \sin (t)$ 라고 하면 $d x = 5 \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $5 \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$5 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \sqrt{25 - (5^{2} \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

단계 2.1.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \sqrt{25 - (25 \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

단계 2.1.1.3

$25$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

단계 2.1.2

$25$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

단계 2.1.3

$- 25 \sin^{2} (t)$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

단계 2.1.4

$25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

단계 2.1.6

$25 \cos^{2} (t)$ 을 ${(5 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

단계 2.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\int 25 \cos (t) \cos (t) d t$

단계 2.2.2

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

단계 2.2.3

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

단계 2.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

단계 2.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 25 \cos^{2} (t) d t$

단계 3

$25$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $25$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$25 \int \cos^{2} (t) d t$

단계 4

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (t)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$25 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$25 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 와 $25$ 을 묶습니다.

$\frac{25}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{25}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{25}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

단계 9

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 9.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 9.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{25}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 10

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{25}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{25}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

단계 12

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{25}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

단계 13

간단히 합니다.

$\frac{25}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{x}{5})$ 로 바꿉니다.

$\frac{25}{2} (\arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 14.2

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{25}{2} (\arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

단계 14.3

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{x}{5})$ 로 바꿉니다.

$\frac{25}{2} (\arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))) + C$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))$ 을 묶습니다.

$\frac{25}{2} (\arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2}) + C$

단계 15.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{25}{2} \arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{25}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2} + C$

단계 15.3

$\frac{25}{2}$ 와 $\arcsin (\frac{x}{5})$ 을 묶습니다.

$\frac{25 \arcsin (\frac{x}{5})}{2} + \frac{25}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2} + C$

단계 15.4

$\frac{25}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$\frac{25}{2}$ 에 $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{25 \arcsin (\frac{x}{5})}{2} + \frac{25 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2 \cdot 2} + C$

단계 15.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{25 \arcsin (\frac{x}{5})}{2} + \frac{25 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{4} + C$

단계 16

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{25}{2} \arcsin (\frac{1}{5} x) + \frac{25}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{5} x)) + C$