미적분 예제

$\int x \sqrt{2 x - 1} d x$

단계 1

먼저 $u = 2 x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 2 x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 1.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2

분수를 통분합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{u}$ 을 묶습니다.

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

단계 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.2

$\frac{u}{2}$ 에 $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.3

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.7

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 3.9

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} d u$

단계 3.10

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

단계 5

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

단계 7

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 9.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 을 $\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 9.3

간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 9.3.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 9.3.3

$2$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.3.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 9.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.3.3.2.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 9.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 9.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{10} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{6} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$