미적분 예제

$\int_{0}^{1} \cos (\frac{π t}{2}) d t$

단계 1

먼저 $u = \frac{π t}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{π}{2} d t$ 이므로 $\frac{2}{π} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \frac{π t}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{π t}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{2}]$

단계 1.1.2

$\frac{π}{2}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{π t}{2}$ 의 미분은 $\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{π}{2} \cdot 1$

단계 1.1.4

$\frac{π}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{2}$

단계 1.2

$u = \frac{π t}{2}$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.1.1

$π \cdot 0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2}$

단계 1.3.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 (1)}$

단계 1.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{1}$

단계 1.3.1.2.4

$π \cdot 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{lower} = π \cdot 0$

단계 1.3.2

$π$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = \frac{π t}{2}$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 1}{2}$

단계 1.5

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{π}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) (1 \frac{2}{π}) d u$

단계 2.2

$\frac{2}{π}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{2}{π} d u$

단계 2.3

$\cos (u)$ 와 $\frac{2}{π}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \cdot 2}{π} d u$

단계 2.4

$\cos (u)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \cos (u)}{π} d u$

단계 3

$\frac{2}{π}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{π}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

단계 4

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{2}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{π}{2}$ , $0$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{2}{π} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{2}{π} (1 - \sin (0))$

단계 5.2.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{2}{π} (1 - 0)$

단계 5.2.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{π} (1 + 0)$

단계 5.2.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{π} \cdot 1$

단계 5.2.5

$\frac{2}{π}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{π}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2}{π}$

소수 형태:

$0.63661977 \dots$