미적분 예제

$\int 5 x \sqrt[3]{1 - x^{2}} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int 5 \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int 5 \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 2.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\int - 5 \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $- 5$ 을 묶습니다.

$\int \frac{- 5}{2} \sqrt[3]{u} d u$

단계 2.4

$\frac{- 5}{2}$ 와 $\sqrt[3]{u}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{- 5 \sqrt[3]{u}}{2} d u$

단계 2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{5 \sqrt[3]{u}}{2} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{5 \sqrt[3]{u}}{2} d u$

단계 4

$\frac{5}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{5}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{5}{2} \int \sqrt[3]{u} d u)$

단계 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 가 됩니다.

$- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ 을 $- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 7.2

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ 을 $- \frac{15}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{15}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{15}{8} {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$