미적분 예제

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

단계 1

먼저 $u = 1 + \cos (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (t) d t$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 + \cos (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + \cos (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

단계 1.1.3

$\cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- \sin (t)$ 입니다.

$0 - \sin (t)$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $\sin (t)$ 을 뺍니다.

$- \sin (t)$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

단계 2

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \sqrt{u} d u$

단계 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 5

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 을 $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6

$u$ 를 모두 $1 + \cos (t)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$