미적분 예제

$y = {(\sqrt{x^{3}} + \sqrt{x^{5}})}^{n}$

단계 1

$\frac{d}{d x} [{(\sqrt{x^{3}} + \sqrt{x^{5}})}^{n}]$ 을 $\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1

$x^{2}$ 로 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(\sqrt{x^{2} x} + \sqrt{x^{5}})}^{n}]$

단계 1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + \sqrt{x^{5}})}^{n}]$

단계 1.3

$x^{5}$ 을 ${(x^{2})}^{2} x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.3.1

$x^{4}$ 로 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + \sqrt{x^{4} x})}^{n}]$

단계 1.3.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + \sqrt{{(x^{2})}^{2} x})}^{n}]$

단계 1.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

단계 3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{1} x^{\frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

단계 3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{1 + \frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

단계 3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

단계 3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2 + 1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

단계 3.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2} x^{\frac{1}{2}})}^{n}]$

단계 5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{n}]$

단계 5.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n}]$

단계 5.3

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n}]$

단계 5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{n}]$

단계 5.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{n}]$

단계 5.5.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n}]$

단계 6

$f (x) = x^{n}$ , $g (x) = x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{n}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 6.2

$n = n$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$n u^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 6.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ 로 바꿉니다.

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단계 6.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 6.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 6.3.3

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 6.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 6.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.3.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 6.3.5.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 가 됩니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

단계 7.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

단계 8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

단계 9

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

단계 10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

단계 11

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

단계 11.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

단계 12

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

단계 13

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

단계 14

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 15

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 17

분자를 간단히 합니다.

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단계 17.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

단계 17.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

단계 18

$\frac{5}{2}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

단계 19

간단히 합니다.

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단계 19.1

분배 법칙을 적용합니다.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 19.2

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 19.2.1

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $n$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n}{2} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 19.2.2

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n}{2}$ 와 ${(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2} + n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 19.3

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 19.3.1

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 와 $n$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} n}{2} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$

단계 19.3.2

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} n}{2}$ 와 ${(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

단계 19.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 x^{\frac{3}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

단계 19.5

$3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 x^{\frac{3}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3 n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

단계 19.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 19.6.1

$3 n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ 에서 $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ 를 인수분해합니다.

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단계 19.6.1.1

$3 n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ 에서 $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3) + 5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

단계 19.6.1.2

$5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ 에서 $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3) + n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (5 x^{\frac{2}{2}})}{2}$

단계 19.6.1.3

$n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3) + n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (5 x^{\frac{2}{2}})$ 에서 $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3 + 5 x^{\frac{2}{2}})}{2}$

단계 19.6.2

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3 + 5 x^{1})}{2}$

단계 19.6.3

간단히 합니다.

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3 + 5 x)}{2}$