미적분 예제

$e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$

단계 1

$e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2} d x$

단계 4

$y^{- 2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $y^{- 2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y^{- 2} \int e^{2 x - 1} d x$

단계 5

먼저 $u = 2 x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = 2 x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$2 x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 5.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y^{- 2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

단계 6

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y^{- 2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y^{- 2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{- 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{- 2}}{2} \int e^{u} d u$

단계 8.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $y^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 y^{2}} \int e^{u} d u$

단계 9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{2 y^{2}} (e^{u} + C)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{2 y^{2}} e^{u} + C$

단계 10.2

$\frac{1}{2 y^{2}}$ 와 $e^{u}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{u}}{2 y^{2}} + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{2 x - 1}}{2 y^{2}} + C$

단계 12

답은 함수 $f (x) = e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{e^{2 x - 1}}{2 y^{2}} + C$