미적분 예제

$y = \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 2 x^{2} - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.3.2

$2 x^{2} - 5$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$4 \frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.3.3

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.3.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.3.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.3.7

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.3.8

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.8.1

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.3.8.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{3} x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 (x^{1} x^{3})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{1 + 3}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.6

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.7

$4$ 와 $\frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 (3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8

간단히 합니다.

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단계 3.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) + 3 \cdot - 5) x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 5 x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2}) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.8.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.8.4.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.8.4.1.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 (3 (2 (x^{2} x^{2}))) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.4.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 (3 (2 x^{2 + 2})) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.4.1.1.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 (3 (2 x^{4})) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.4.1.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (6 x^{4}) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.4.1.3

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{24 x^{4} + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.4.1.4

$3$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{24 x^{4} + 4 (- 15 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.4.1.5

$- 15$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{24 x^{4} - 60 x^{2} + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.4.1.6

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{24 x^{4} - 60 x^{2} - 16 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.4.2

$24 x^{4}$ 에서 $16 x^{4}$ 을 뺍니다.

$\frac{8 x^{4} - 60 x^{2}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.5

$8 x^{4} - 60 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.8.5.1

$8 x^{4}$ 에서 $4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2}) - 60 x^{2}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.5.2

$- 60 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} (- 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 3.8.5.3

$4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} (- 15)$ 에서 $4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$