미적분 예제

$x^{2} = 4 y^{3} + 5 y^{2}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 5 y^{2})$

단계 2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $4 y^{3} + 5 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 y^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

단계 3.2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

단계 3.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

단계 3.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

단계 3.2.4

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 y^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$12 y^{2} y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 3.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$12 y^{2} y' + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 y^{2} y' + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$12 y^{2} y' + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$12 y^{2} y' + 5 (2 y y')$

단계 3.3.4

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$12 y^{2} y' + 10 y y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 x = 12 y^{2} y' + 10 y y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$

단계 5.2

$12 y^{2} y' + 10 y y'$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$12 y^{2} y'$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (6 y) + 10 y y' = 2 x$

단계 5.2.2

$10 y y'$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5 = 2 x$

단계 5.2.3

$2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$

단계 5.3

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ 의 각 항을 $2 y (6 y + 5)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ 의 각 항을 $2 y (6 y + 5)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

단계 5.3.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

단계 5.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

단계 5.3.2.3

$6 y + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

단계 5.3.2.3.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

단계 5.3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{x}{y (6 y + 5)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y (6 y + 5)}$