미적분 예제

$y = - \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$- \frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{5} x^{- 4}$ 의 미분은 $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ 입니다.

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

단계 1.2.2

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

단계 1.2.3

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

단계 1.2.4

$4$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

단계 1.2.5

$\frac{4}{5}$ 와 $x^{- 5}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

단계 1.2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

단계 1.3.3

$3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

단계 1.3.4

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{- 1}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ 입니다.

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 1.4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 (- x^{- 2})$

단계 1.4.3

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x^{- 2}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.5.2

$3$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}}$

단계 1.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 x^{2}}{2}$ 의 미분은 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.2.3

$2$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.2.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.2.5

$\frac{6}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.2.6

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.6.1

$6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.2.6.2.4

$3 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{x^{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$3 x + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.3.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 x + 3 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.3.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$3 x + 3 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 x + 3 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 x + 3 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 x + 3 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$3 x + 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.3.10

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$\frac{4}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{5 x^{5}}$ 의 미분은 $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 입니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

단계 2.4.2

$\frac{1}{x^{5}}$ 을 ${(x^{5})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

단계 2.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 2.4.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 2.4.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 2.4.4

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

단계 2.4.5

${(x^{5})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

단계 2.4.5.2

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

단계 2.4.6

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

단계 2.4.7

지수를 더하여 $x^{- 10}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.7.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

단계 2.4.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

단계 2.4.7.3

$4$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 6})$

단계 2.4.8

$- 5$ 와 $\frac{4}{5}$ 을 묶습니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 5 \cdot 4}{5} x^{- 6}$

단계 2.4.9

$- 5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5} x^{- 6}$

단계 2.4.10

$\frac{- 20}{5}$ 와 $x^{- 6}$ 을 묶습니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20 x^{- 6}}{5}$

단계 2.4.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 6}$ 를 분모로 이동합니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5 x^{6}}$

단계 2.4.12

$- 20$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.12.1

$- 20$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

단계 2.4.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.12.2.1

$5 x^{6}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 (x^{6})}$

단계 2.4.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

단계 2.4.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 4}{x^{6}}$

단계 2.4.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 x - 6 x^{- 3} - \frac{4}{x^{6}}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 x - 6 \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

단계 2.5.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$- 6$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$3 x + \frac{- 6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

단계 2.5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 3 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$