미적분 예제

$\tan (x y) = x$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (\tan (x y)) = \frac{d}{d y} (x)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

$f (y) = \tan (y)$ , $g (y) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

단계 2.1.2

$\tan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u)$ 입니다.

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [x y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

단계 2.2

$f (y) = x$ , $g (y) = y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

단계 2.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

단계 2.3.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sec^{2} (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

단계 2.4

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$\sec^{2} (x y) (x + y x')$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\sec^{2} (x y) x + \sec^{2} (x y) (y x')$

단계 2.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$

단계 3

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x' = x'$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) = x'$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $x'$ 를 뺍니다.

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) - x' = 0$

단계 5.3

방정식의 양변에서 $x \sec^{2} (x y)$ 를 뺍니다.

$y x' \sec^{2} (x y) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

단계 5.4

$y x' \sec^{2} (x y) - x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.1

$y x' \sec^{2} (x y)$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (y \sec^{2} (x y)) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

단계 5.4.2

$- x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1 = - x \sec^{2} (x y)$

단계 5.4.3

$x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$

단계 5.5

$x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ 의 각 항을 $y \sec^{2} (x y) - 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ 의 각 항을 $y \sec^{2} (x y) - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

단계 5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.2.1

$y \sec^{2} (x y) - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

단계 5.5.2.1.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

단계 5.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$