미적분 예제

Let $h (x) = e^{2 x - 6} - e$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $e^{2 x - 6} - e$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- e]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- e]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x - 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x - 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 6] + \frac{d}{d x} [- e]$

단계 1.1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 6] + \frac{d}{d x} [- e]$

단계 1.1.2.1.3

$u$ 를 모두 $2 x - 6$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x - 6} \frac{d}{d x} [2 x - 6] + \frac{d}{d x} [- e]$

단계 1.1.2.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$e^{2 x - 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- e]$

단계 1.1.2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{2 x - 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- e]$

단계 1.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- e]$

단계 1.1.2.5

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- e]$

단계 1.1.2.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x - 6} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- e]$

단계 1.1.2.7

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{2 x - 6} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e]$

단계 1.1.2.8

$e^{2 x - 6}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 e^{2 x - 6} + \frac{d}{d x} [- e]$

단계 1.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$- e$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- e$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- e$ 입니다.

$2 e^{2 x - 6} + 0$

단계 1.1.3.2

$2 e^{2 x - 6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 e^{2 x - 6}$

단계 1.2

$h (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 e^{2 x - 6}$ 입니다.

$2 e^{2 x - 6}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 e^{2 x - 6} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 e^{2 x - 6} = 0$

단계 2.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (2 e^{2 x - 6}) = \ln (0)$

단계 2.3

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.4

$2 e^{2 x - 6} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음