미적분 예제

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \sin (x) d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \sin (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (x) d x$

단계 2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

단계 3.2

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

단계 4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\sin (x)$ 입니다.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ 와 $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ 을 묶습니다.

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

단계 5.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\frac{3 π}{2}$ , $\frac{π}{2}$ 일 때, $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ 값을 계산합니다.

$(\frac{3 π}{2} (- \cos (\frac{3 π}{2})) + \sin (\frac{3 π}{2})) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

단계 5.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$\frac{3 π}{2}$ 와 $\cos (\frac{3 π}{2})$ 을 묶습니다.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

단계 5.2.2.2

$\frac{π}{2}$ 와 $\cos (\frac{π}{2})$ 을 묶습니다.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

단계 5.2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.2.2.4

$- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \frac{- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.2.2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.3.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.3.3

$π$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.3.4

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 (0)}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.3.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- 0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.3.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.3.6

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 \cdot 1}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.3.7

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 5.3.8

공통 분모를 가지는 분수로 $\sin (\frac{3 π}{2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot \frac{2}{2}$

단계 5.3.9

$\sin (\frac{3 π}{2})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \frac{\sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

단계 5.3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

단계 5.3.11

$\sin (\frac{3 π}{2})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + 2 \cdot \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

단계 5.3.12

$- 3 π \cos (\frac{3 π}{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

단계 5.3.13

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

단계 5.3.14

$- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

단계 5.3.15

$2 \sin (\frac{3 π}{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

단계 5.3.16

$- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

단계 5.3.17

$- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ 을 $- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

단계 5.3.18

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

단계 5.4

간단히 합니다.

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단계 5.4.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$- \frac{3 π \cos (\frac{π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

단계 5.4.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- \frac{3 π \cdot 0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

단계 5.4.3

$3 π \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

$0$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{0 π + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

단계 5.4.3.2

$0$ 에 $π$ 을 곱합니다.

$- \frac{0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

단계 5.4.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- \frac{0 + 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

단계 5.4.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- \frac{0 + 2 - 2 (- 1 \cdot 1)}{2}$

단계 5.4.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{0 + 2 - 2 \cdot - 1}{2}$

단계 5.4.7

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{0 + 2 + 2}{2}$

단계 5.4.8

$0 + 2 + 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.8.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 + 2}{2}$

단계 5.4.8.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2}{2}$

단계 5.4.8.3

$2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2}{2}$

단계 5.4.8.4

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2 \cdot 1}{2}$

단계 5.4.8.5

$2 \cdot (0 + 1) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2}$

단계 5.4.8.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.8.6.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 (1)}$

단계 5.4.8.6.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 \cdot 1}$

단계 5.4.8.6.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{0 + 1 + 1}{1}$

단계 5.4.8.6.4

$0 + 1 + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (0 + 1 + 1)$

단계 5.4.9

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- (1 + 1)$

단계 5.4.10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 1 \cdot 2$

단계 5.4.11

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2$