미적분 예제

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 을(를) ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{d}{d x} [{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.2

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ , $g (x) = 1 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.2

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 8.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 9.2

${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 9.3

식을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- (- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 9.3.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 9.3.3

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 10

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 11

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 12

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 13

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 14

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- (2 x)) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 15

항을 간단히 합니다.

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단계 15.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 15.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 15.3

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 15.4

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 16

공약수로 약분합니다.

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단계 16.1

$2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 16.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 16.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 18

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 19

식을 간단히 합니다.

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단계 19.1

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

단계 19.2

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$