미적분 예제

$\int_{0}^{a^{\frac{1}{2}}} x^{3} \sqrt{a^{2} - x^{4}} d x$

단계 1

먼저 $u = a^{2} - x^{4}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 4 x^{3} d x$ 이므로 $- \frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = a^{2} - x^{4}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$a^{2} - x^{4}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{4}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $a^{2} - x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

단계 1.1.2.2

$a^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a^{2}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (4 x^{3})$

단계 1.1.3.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 4 x^{3}$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $4 x^{3}$ 을 뺍니다.

$- 4 x^{3}$

단계 1.2

$u = a^{2} - x^{4}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = a^{2} - 0^{4}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = a^{2} - 0$

단계 1.3.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = a^{2} + 0$

단계 1.3.2

$a^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = a^{2}$

단계 1.4

$u = a^{2} - x^{4}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = a^{2} - {(a^{\frac{1}{2}})}^{4}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

${(a^{\frac{1}{2}})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

단계 1.5.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}$

단계 1.5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}$

단계 1.5.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

단계 1.5.2

$a^{2}$ 에서 $a^{2}$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 0$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 4} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u$

단계 2.2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{4} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

단계 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{1}{4} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$0$ , $a^{2}$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 7.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 7.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 7.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 7.2.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 7.2.5

$\frac{2}{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 7.2.6

${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 7.2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 7.2.6.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 7.2.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

단계 7.2.7

$0$ 에서 $\frac{2}{3} a^{3}$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{4} (- \frac{2}{3} a^{3})$

단계 7.2.8

$a^{3}$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{4} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

단계 7.2.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{4}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

단계 7.2.10

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

단계 7.2.11

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{a^{3} \cdot 2}{4 \cdot 3}$

단계 7.2.12

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{a^{3} \cdot 2}{12}$

단계 7.2.13

$a^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot a^{3}}{12}$

단계 7.2.14

$2$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.14.1

$2 a^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (a^{3})}{12}$

단계 7.2.14.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.14.2.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 6}$

단계 7.2.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 6}$

단계 7.2.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{a^{3}}{6}$

단계 8

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{6} a^{3}$

단계 9

$\frac{1}{6}$ 와 $a^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{a^{3}}{6}$