미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

단계 1.2.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

단계 1.2.3

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

단계 1.2.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

단계 1.2.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

단계 1.2.5.2

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.2.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

단계 1.2.5.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

단계 1.2.5.2.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

단계 1.3.2

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \tan (2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

단계 1.3.3

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

단계 1.3.4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

단계 1.3.5

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.3.6

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

단계 1.3.7

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.7.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot 0) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

단계 1.3.7.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot 0) - 2 \cdot 0^{3}}$

단계 1.3.8

답을 간단히 합니다.

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단계 1.3.8.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.8.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{3 \tan (0) - 2 \cdot 0^{3}}$

단계 1.3.8.1.2

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 2 \cdot 0^{3}}$

단계 1.3.8.1.3

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3}}$

단계 1.3.8.1.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

단계 1.3.8.1.5

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{0 + 0}$

단계 1.3.8.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.8.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.9

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \tan (2 x) - 2 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $e^{- x} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

단계 3.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

단계 3.3.1.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

단계 3.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

단계 3.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

단계 3.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

단계 3.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

단계 3.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

단계 3.5

$- e^{- x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $3 \tan (2 x) - 2 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

단계 3.7

$\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.7.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \tan (2 x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

단계 3.7.2

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.7.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

단계 3.7.2.2

$\tan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

단계 3.7.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

단계 3.7.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

단계 3.7.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

단계 3.7.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

단계 3.7.6

$\sec^{2} (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (2 \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

단계 3.7.7

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

단계 3.8

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.8.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{3}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.8.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 2 (3 x^{2})}$

단계 3.8.3

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 6 x^{2}}$

단계 3.9

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

단계 4

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

단계 5

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

단계 6

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{- e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

단계 7

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

단계 8

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

단계 9

$6$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

단계 10

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

단계 11

$6$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

단계 12

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\sec^{2} (2 x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2}}$

단계 13

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}$

단계 14

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

단계 15

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{- e^{0}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

단계 15.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{- e^{0}}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

단계 15.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{- e^{0}}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

단계 16

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{- 1 \cdot 1}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

단계 16.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 16.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{- 1 \cdot 1}{- 6 \cdot 0 + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

단계 16.2.2

$- 6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

단계 16.2.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \sec^{2} (0)}$

단계 16.2.4

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \cdot 1^{2}}$

단계 16.2.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \cdot 1}$

단계 16.2.6

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6}$

단계 16.2.7

$0$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{- 1 \cdot 1}{6}$

단계 16.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1}{6}$

단계 16.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{6}$