미적분 예제

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{- x} d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} - e^{- x} d x$

단계 2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - - \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + 1 \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

단계 3.2

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

단계 4

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 4.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 4.2

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 0$

단계 4.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - \ln (2)$

단계 4.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

단계 4.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u$

단계 5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u$

단계 6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\ln (2)$ , $0$ 일 때, $x (- e^{- x})$ 값을 계산합니다.

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

단계 7.2

$- \ln (2)$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

단계 7.3

간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- e^{0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

단계 7.3.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

단계 7.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 \cdot - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

단계 7.3.4

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

단계 7.3.5

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

단계 7.3.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1)$

단계 7.3.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

단계 8

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln (2)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (2) (- e^{\ln (2^{- 1})}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

단계 8.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\ln (2) (- 2^{- 1}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\ln (2) (- \frac{1}{2}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

단계 8.4

$\ln (2)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{- \ln (2)} - 1)$

단계 8.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln (2)$ 을 간단히 합니다.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1)$

단계 8.5.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (2^{- 1} - 1)$

단계 8.5.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

단계 8.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

단계 8.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

단계 8.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

단계 8.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

단계 8.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{- 1}{2}$

단계 8.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\ln (2)}{2} - - \frac{1}{2}$

단계 8.11

$- - \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 8.11.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (2)}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

단계 8.11.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

소수 형태:

$0.15342640 \dots$

단계 10