미적분 예제

$x^{2} y - 5 y = 12$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - 5 y) = \frac{d}{d x} (12)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} y - 5 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

단계 2.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

단계 2.2.4

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 5 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 y$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$x^{2} y' + 2 y x - 5 \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} y' + 2 y x - 5 y'$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y'$

단계 3

$12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $12$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y' = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에서 $2 x y$ 를 뺍니다.

$x^{2} y' - 5 y' = - 2 x y$

단계 5.2

$x^{2} y' - 5 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$x^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x^{2} - 5 y' = - 2 x y$

단계 5.2.2

$- 5 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x^{2} + y' \cdot - 5 = - 2 x y$

단계 5.2.3

$y' x^{2} + y' \cdot - 5$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$

단계 5.3

$y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ 의 각 항을 $x^{2} - 5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ 의 각 항을 $x^{2} - 5$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$x^{2} - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

단계 5.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$