미적분 예제

$\int \cos^{3} (x) d x$

단계 1

$\cos^{3} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\int \cos (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 2

$u = \cos (x)$ 이고 $d v = \cos^{2} (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\cos (x) (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (- \sin (x)) d x$

단계 3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\cos (x) (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

단계 4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

단계 4.2

$\frac{1}{4}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

단계 4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x)) \sin (x) d x$

단계 4.4

$\frac{1}{4}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

단계 4.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + 1 \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

단계 4.5.2

$\int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

단계 4.5.3

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \int \sin (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) d x$

단계 5

$u = \sin (x)$ 이고 $d v = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

단계 6

분수를 통분합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

단계 6.2

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

단계 6.3

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

단계 6.4

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) \cos (x) d x$

단계 7

$\int \cos^{3} (x) d x$ 을 풀면 $\int \cos^{3} (x) d x$ = $\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2}$ 입니다.

$\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2} + C$

단계 8

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2} + C$ 을 $\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$

단계 8.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.2.1

$\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$

단계 8.1.2.2

조합합니다.

$\frac{4 (\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1.2.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2) \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (\cos (x) x) + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (\cos (x) x) + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.6

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.7

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - 4 \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.8

$- 4$ 와 $\frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{- 4 (\cos (2 x) \sin (x))}{8}}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.9

$- 4$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1.2.9.1

$- 4 \cos (2 x) \sin (x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{8}}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.2.9.2.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{4 (2)}}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{4 \cdot 2}}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{- \cos (2 x) \sin (x)}{2}}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{4 \cdot 2} + C$

단계 8.1.2.11

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8} + C$

단계 8.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.3.1

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8} + C$

단계 8.1.3.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (2 x) \sin (x)) + C$

단계 8.2

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (2 x) \sin (x)) + C$ 을 $\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{2}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{2}) + C$

단계 8.3

괄호를 제거합니다.

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \sin (x) \cos (2 x)) + C$