미적분 예제

$a_{n} = n \cdot (n + 1)!$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (n) = n$ , $g (n) = (n + 1)!$ 일 때 $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ 는 $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)! \frac{d}{d n} [n]$

단계 1.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 는 $n \cdot n^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)! \cdot 1$

단계 1.2.2

$(n + 1)!$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (n) = n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)!$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)!$ 를 $n$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

단계 2.2

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (n) = n$ , $g (n) = \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ 일 때 $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ 는 $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 는 $n \cdot n^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] \cdot 1 + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (n) = n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ 를 $n$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

단계 3.2

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (n) = n$ , $g (n) = \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ 일 때 $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ 는 $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 는 $n \cdot n^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] \cdot 1 + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (n) = n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ 를 $n$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

단계 4.2

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$f (n) = n$ , $g (n) = \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ 일 때 $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ 는 $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

단계 4.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 는 $n \cdot n^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] \cdot 1 + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

단계 4.2.3

$\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (n) = n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$