미적분 예제

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$

단계 1

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

단계 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{3} x^{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

단계 2.1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

단계 2.1.1.2.3

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

단계 2.1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

단계 2.1.1.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

단계 2.1.1.2.5.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

단계 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

단계 2.1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

단계 2.1.1.3.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

단계 2.1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 16 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.1

$- 16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 16 x$ 의 미분은 $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} - 6 x - 16 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} - 6 x - 16 \cdot 1$

단계 2.1.1.4.3

$- 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{2} - 6 x - 16$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.2.1

미분합니다.

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단계 2.1.2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 6 x - 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

단계 2.1.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

단계 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.2.2.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

단계 2.1.2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]$

단계 2.1.2.2.3

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 16]$

단계 2.1.2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.2.3.1

$- 16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 16$ 입니다.

$2 x - 6 + 0$

단계 2.1.2.3.2

$2 x - 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 x - 6$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $2 x - 6$ 입니다.

$2 x - 6$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $2 x - 6 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$2 x - 6 = 0$

단계 2.2.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$2 x = 6$

단계 2.2.3

$2 x = 6$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.1

$2 x = 6$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

단계 2.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

단계 2.2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{6}{2}$

단계 2.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.3.1

$6$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 3$

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 3)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 2 (0) - 6$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 6$

단계 5.2.2

$0$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 6$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 6$ 입니다.

$- 6$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, 3)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, 3)$ 에서 아래로 오목함

단계 6

$(3, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f'' (6) = 2 (6) - 6$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (6) = 12 - 6$

단계 6.2.2

$12$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (6) = 6$

단계 6.2.3

최종 답은 $6$ 입니다.

$6$

단계 6.3

$f'' (6)$ 이 양수이므로 그래프는 $(3, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(3, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, 3)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(3, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8