미적분 예제

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} e^{x}$

단계 1

극한 인수를 간단히 합니다.

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단계 1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} 3 \frac{1}{x^{2}} e^{x}$

단계 1.2

인수끼리 묶습니다.

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단계 1.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} e^{x}$

단계 1.2.2

$\frac{3}{x^{2}}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{x^{2}}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

단계 2.1.2

$e^{x}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $3$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

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단계 2.1.2.1

상수 배수 $3$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

단계 2.1.2.2

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

단계 2.1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 2.3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 e^{x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 2.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 2.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 x}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

단계 3.1.2

$e^{x}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $3$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

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단계 3.1.2.1

상수 배수 $3$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

단계 3.1.2.2

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

단계 3.1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 3.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 3.3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 e^{x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 3.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 3.3.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 \frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 \cdot 1}$

단계 3.3.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2}$

단계 4

$e^{x}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $\frac{3}{2}$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

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단계 4.1

상수 배수 $\frac{3}{2}$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

단계 4.2

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\infty$