미적분 예제

Let $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x^{2}$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [12 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1$

단계 1.1.4.3

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $6 x^{2} - 18 x + 12$ 입니다.

$6 x^{2} - 18 x + 12$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$6 x^{2} - 18 x + 12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$6 x^{2}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) - 18 x + 12 = 0$

단계 2.2.1.2

$- 18 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) + 12 = 0$

단계 2.2.1.3

$12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

단계 2.2.1.4

$6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

단계 2.2.1.5

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 3 x + 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $2$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 2, - 1$

단계 2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$6 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 2.4

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.5

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.6

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2, 1$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 2$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

지수를 더하여 $2$ 에 ${(2)}^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1.1

$2$ 에 ${(2)}^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$2^{1} {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

단계 4.1.2.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2^{1 + 3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

단계 4.1.2.1.1.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2^{4} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

단계 4.1.2.1.2

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$16 - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

단계 4.1.2.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$16 - 9 \cdot 4 + 12 (2)$

단계 4.1.2.1.4

$- 9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 - 36 + 12 (2)$

단계 4.1.2.1.5

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$16 - 36 + 24$

단계 4.1.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$16$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$- 20 + 24$

단계 4.1.2.2.2

$- 20$ 를 $24$ 에 더합니다.

$4$

단계 4.2

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$2 {(1)}^{3} - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 \cdot 1 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

단계 4.2.2.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

단계 4.2.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 - 9 \cdot 1 + 12 (1)$

단계 4.2.2.1.4

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 9 + 12 (1)$

단계 4.2.2.1.5

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 9 + 12$

단계 4.2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$2$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$- 7 + 12$

단계 4.2.2.2.2

$- 7$ 를 $12$ 에 더합니다.

$5$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(2, 4), (1, 5)$

단계 5