미적분 예제

$y = \arcsin (\frac{x}{4})$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{x}{4}))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \arcsin (x)$ , $g (x) = \frac{x}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

단계 3.1.2

$\arcsin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.2

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \cdot 1$

단계 3.2.4

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$\frac{x}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4^{2}}}}$

단계 3.3.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$