미적분 예제

${(e^{x} + 1)}^{2}$

단계 1

${(e^{x} + 1)}^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int {(e^{x} + 1)}^{2} d x$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

${(e^{x} + 1)}^{2}$ 을 $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (e^{x} + 1) (e^{x} + 1) d x$

단계 4.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int e^{x} (e^{x} + 1) + 1 (e^{x} + 1) d x$

단계 4.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{x} + 1) d x$

단계 4.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

단계 4.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int e^{x + x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

단계 4.3.1.1.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\int e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

단계 4.3.1.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{2 x} + e^{x} + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

단계 4.3.1.3

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

단계 4.3.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 d x$

단계 4.3.2

$e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$\int e^{2 x} + 2 e^{x} + 1 d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

단계 6

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 6.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

단계 7

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

단계 9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

단계 10

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{x} d x + \int d x$

단계 11

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + \int d x$

단계 12

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + x + C$

단계 13

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{x} + x + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

단계 15

답은 함수 $f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$