미적분 예제

$y = \frac{- x^{3} \cdot \cos (x^{3})}{3}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3} \cos (x^{3})}{3}]$

단계 1.2

$- \frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x^{3} \cos (x^{3})}{3}$ 의 미분은 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x^{3})]$ 입니다.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x^{3})]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \cos (x^{3})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x^{3})] + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3} (x^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- \sin (x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- 3 \sin (x^{3}) x^{2}) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 5

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{1}{3} (x^{2} x^{3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{3} (x^{2 + 3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 5.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{3} (x^{5} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} (x^{5} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{3} (x^{5} (- 3 \sin (x^{3}))) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

단계 7.2

항을 묶습니다.

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단계 7.2.1

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3}) (x^{5} (\sin (x^{3}))) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

단계 7.2.2

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} (x^{5} (\sin (x^{3}))) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

단계 7.2.3

$x^{5}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{5} \cdot 3}{3} \sin (x^{3}) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

단계 7.2.4

$\frac{x^{5} \cdot 3}{3}$ 와 $\sin (x^{3})$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{5} \cdot 3 \sin (x^{3})}{3} - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

단계 7.2.5

$x^{5}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot x^{5} \sin (x^{3})}{3} - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

단계 7.2.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{5} \sin (x^{3})}{3} - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

단계 7.2.6.2

$x^{5} \sin (x^{3})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{5} \sin (x^{3}) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

단계 7.2.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{5} \sin (x^{3}) - 3 (\frac{1}{3}) (\cos (x^{3}) (x^{2}))$

단계 7.2.8

$- 3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{- 3}{3} (\cos (x^{3}) (x^{2}))$

단계 7.2.9

$\cos (x^{3})$ 와 $\frac{- 3}{3}$ 을 묶습니다.

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{\cos (x^{3}) \cdot - 3}{3} x^{2}$

단계 7.2.10

$\frac{\cos (x^{3}) \cdot - 3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{\cos (x^{3}) \cdot - 3 x^{2}}{3}$

단계 7.2.11

$\cos (x^{3})$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{- 3 \cdot \cos (x^{3}) x^{2}}{3}$

단계 7.2.12

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.12.1

$- 3 \cos (x^{3}) x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{3 (- \cos (x^{3}) x^{2})}{3}$

단계 7.2.12.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.12.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{3 (- \cos (x^{3}) x^{2})}{3 (1)}$

단계 7.2.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{3 (- \cos (x^{3}) x^{2})}{3 \cdot 1}$

단계 7.2.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{- \cos (x^{3}) x^{2}}{1}$

단계 7.2.12.2.4

$- \cos (x^{3}) x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{5} \sin (x^{3}) - \cos (x^{3}) x^{2}$

단계 7.3

항을 다시 정렬합니다.

$x^{5} \sin (x^{3}) - x^{2} \cos (x^{3})$