미적분 예제

$\int_{0}^{2} π {(4 - 2 x)}^{2} d x$

단계 1

$π$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $π$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$π \int_{0}^{2} {(4 - 2 x)}^{2} d x$

단계 2

먼저 $u = 4 - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 4 - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$4 - 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 - 2 x]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.1.2.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 2 \cdot 1$

단계 2.1.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 2$

단계 2.1.4

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 2$

단계 2.2

$u = 4 - 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 4 - 2 \cdot 0$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 4 + 0$

단계 2.3.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 4$

단계 2.4

$u = 4 - 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4 - 2 \cdot 2$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 4 - 4$

단계 2.5.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 0$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$π \int_{4}^{0} u^{2} \frac{1}{- 2} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$π \int_{4}^{0} u^{2} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 3.2

$u^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$π \int_{4}^{0} - \frac{u^{2}}{2} d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{u^{2}}{2} d u)$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$π (- (\frac{1}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

단계 6

$π$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$- \frac{π}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$0$ , $4$ 일 때, $\frac{1}{3} u^{3}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{π}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{π}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

단계 8.2.2

$\frac{1}{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

단계 8.2.3

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

단계 8.2.4

$64$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{π}{2} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

단계 8.2.5

$- 64$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π}{2} (0 + \frac{- 64}{3})$

단계 8.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{64}{3})$

단계 8.2.7

$0$ 에서 $\frac{64}{3}$ 을 뺍니다.

$- \frac{π}{2} (- \frac{64}{3})$

단계 8.2.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{π}{2} \frac{64}{3}$

단계 8.2.9

$\frac{π}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{2} \cdot \frac{64}{3}$

단계 8.2.10

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{64}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{π \cdot 64}{2 \cdot 3}$

단계 8.2.11

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{π \cdot 64}{6}$

단계 8.2.12

$π$ 의 왼쪽으로 $64$ 이동하기

$\frac{64 \cdot π}{6}$

단계 8.2.13

$64$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.13.1

$64 π$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (32 π)}{6}$

단계 8.2.13.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.13.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (32 π)}{2 (3)}$

단계 8.2.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (32 π)}{2 \cdot 3}$

단계 8.2.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{32 π}{3}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{32 π}{3}$

소수 형태:

$33.51032163 \dots$

단계 10