미적분 예제

$\ln (e^{3 x} + x)$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = e^{3 x} + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{3 x} + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{3 x} + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $e^{3 x} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3.2

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(3 e^{3 x} + 1) \frac{1}{e^{3 x} + x}$

단계 5.2

$3 e^{3 x} + 1$ 에 $\frac{1}{e^{3 x} + x}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$