미적분 예제

$lim_{x \to \infty} {(1 + x)}^{\frac{3}{x}}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(1 + x)}^{\frac{3}{x}}$ 을 $e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{3}{x}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{3}{x}})}$

단계 1.2

$\frac{3}{x}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(1 + x)}^{\frac{3}{x}})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{3}{x} \ln (1 + x)}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} \ln (1 + x)}$

단계 2.2

$\frac{3}{x}$ 와 $\ln (1 + x)$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{3 \ln (1 + x)}{x}}$

단계 2.3

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + x)}{x}}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{3 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + x)}{lim_{x \to \infty} x}}$

단계 3.1.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$e^{3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

단계 3.1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$e^{3 \frac{\infty}{\infty}}$

단계 3.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{3 \frac{\infty}{\infty}}$

단계 3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 1 + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + x$ 로 바꿉니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2.3

$u$ 를 모두 $1 + x$ 로 바꿉니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.3

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.7

$\frac{1}{1 + x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.8

항을 다시 정렬합니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1}}$

단계 3.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

단계 3.5

$\frac{1}{x + 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1}}$

단계 4

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x + 1}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{3 \cdot 0}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{0}$

단계 5.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1$