미적분 예제

$\int_{1}^{e} x \ln (x) d x$

단계 1

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x)$

단계 4.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x)$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

단계 4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

단계 4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

단계 4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x)$

단계 4.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$e$ , $1$ 일 때, $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\ln (e) e^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$

단계 6.2

$e$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{2} x^{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\ln (e) e^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.4

$\ln (1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.5

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

단계 6.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$

단계 6.8

간단히 합니다.

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단계 6.8.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

단계 6.8.2

$- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

단계 6.8.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (e) e^{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

단계 6.8.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (e) e^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

단계 6.8.5

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

단계 6.8.6

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.8.6.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

단계 6.8.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.8.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

단계 6.8.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

단계 6.8.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

단계 6.8.6.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln (e) e^{2} - (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{\ln (e) e^{2} - (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

소수 형태:

$2.09726402 \dots$