미적분 예제

$- y^{3} - 4 x^{2} = - 4 x^{3}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (- y^{3} - 4 x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- y^{3} - 4 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 2.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 2.2.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 3 y^{2} y' - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 y^{2} y' - 4 (2 x)$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 3 y^{2} y' - 8 x$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{3}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (3 x^{2})$

단계 3.3

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 12 x^{2}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- 3 y^{2} y' - 8 x = - 12 x^{2}$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에 $8 x$ 를 더합니다.

$- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$

단계 5.2

$- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$ 의 각 항을 $- 3 y^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$ 의 각 항을 $- 3 y^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.2.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.3.1.1

$- 12$ 및 $- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1.1.1

$- 12 x^{2}$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1.1.2.1

$- 3 y^{2}$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 (y^{2})} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

단계 5.2.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} - \frac{8 x}{3 y^{2}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} - \frac{8 x}{3 y^{2}}$