미적분 예제

$y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{3} x^{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.2.3

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.2.4

$\frac{3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.2.5.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} + 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.4.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$x^{2} + 2 x - 3 + 0$

단계 1.5.2

$x^{2} + 2 x - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} + 2 x - 3$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f'' (x) = 2 x + 2 + 0$

단계 2.3.2

$2 x + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 x + 2$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{3} x^{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 4.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 4.1.2.3

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 4.1.2.4

$\frac{3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 4.1.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 4.1.2.5.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 4.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 4.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} + 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 4.1.4.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 4.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$x^{2} + 2 x - 3 + 0$

단계 4.1.5.2

$x^{2} + 2 x - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = x^{2} + 2 x - 3$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x^{2} + 2 x - 3$ 입니다.

$x^{2} + 2 x - 3$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

단계 5.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 2 x - 3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 3$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 1, 3$

단계 5.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

단계 5.4

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 5.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5.5

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 5.5.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 5.6

$(x - 1) (x + 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 3$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 1, - 3$

단계 8

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 (1) + 2$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + 2$

단계 9.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 1$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 1 + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

단계 11.2.1.2

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{3} + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

단계 11.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 \cdot 1 - 8$

단계 11.2.1.4

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 8$

단계 11.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} - 3 - 8$

단계 11.2.2.2

$\frac{1}{1}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 3 - 8$

단계 11.2.2.3

$\frac{1}{1}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 3 - 8$

단계 11.2.2.4

$- 3$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3}{1} - 8$

단계 11.2.2.5

$\frac{- 3}{1}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8$

단계 11.2.2.6

$\frac{- 3}{1}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} - 8$

단계 11.2.2.7

$- 8$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1}$

단계 11.2.2.8

$\frac{- 8}{1}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3}$

단계 11.2.2.9

$\frac{- 8}{1}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

단계 11.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (1) = \frac{1 + 3 - 3 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{3}$

단계 11.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.4.1

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1 + 3 - 9 - 8 \cdot 3}{3}$

단계 11.2.4.2

$- 8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1 + 3 - 9 - 24}{3}$

단계 11.2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.5.1

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (1) = \frac{4 - 9 - 24}{3}$

단계 11.2.5.2

$4$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$f (1) = \frac{- 5 - 24}{3}$

단계 11.2.5.3

$- 5$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f (1) = \frac{- 29}{3}$

단계 11.2.5.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (1) = - \frac{29}{3}$

단계 11.2.6

최종 답은 $- \frac{29}{3}$ 입니다.

$y = - \frac{29}{3}$

단계 12

$x = - 3$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 (- 3) + 2$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 6 + 2$

단계 13.2

$- 6$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 4$

단계 14

이계도함수가 음수이므로 $x = - 3$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 3$ 은 극대값입니다

단계 15

$x = - 3$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot - 27 + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

단계 15.2.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.2.1

$- 27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 9)) + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

단계 15.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 9) + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

단계 15.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- 3) = - 9 + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

단계 15.2.1.3

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 3) = - 9 + 9 - 3 \cdot - 3 - 8$

단계 15.2.1.4

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = - 9 + 9 + 9 - 8$

단계 15.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$- 9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f (- 3) = 0 + 9 - 8$

단계 15.2.2.2

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f (- 3) = 9 - 8$

단계 15.2.2.3

$9$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f (- 3) = 1$

단계 15.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$y = 1$

단계 16

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$ 에 대한 극값입니다.

$(1, - \frac{29}{3})$ 은 극솟값임

$(- 3, 1)$ 은 극댓값임

단계 17