미적분 예제

$\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + 2 x}$ 을(를) ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1}{x}]$

단계 2

$f (x) = {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1] - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3

합의 법칙에 의해 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 1 + 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $1 + 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 9.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 9.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 10

합의 법칙에 의해 $1 + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 11

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 12

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 에 더합니다.

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 13

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 14

항을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 14.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 14.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 16

$\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 17

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 18

분수를 통분합니다.

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단계 18.1

$\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 18.2

$x$ 와 $\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 19

$\frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ 에 $\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 20

항을 간단히 합니다.

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단계 20.1

조합합니다.

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 20.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 20.3

${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 20.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 20.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 21

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 22

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1))}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23

간단히 합니다.

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단계 23.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - - 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 23.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2.4

${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 23.2.5.1

지수를 더하여 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 23.2.5.1.1

${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2.5.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2.5.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2.5.1.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{1} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2.5.2

$- {(1 + 2 x)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{x - (1 + 2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - 1 \cdot 1 - (2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2.5.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1 - (2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2.5.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1 - 2 x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.2.6

$x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- x - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 23.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.4

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x) - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.5

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x) - 1 (1) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.6

$- (x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x + 1) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.7

${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x + 1) - 1 (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.8

$- (x + 1) - 1 (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.9

$- (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ 을 $- 1 (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$