미적분 예제

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t$

단계 1

$t$ 의 시작값을 $1$ 에 맞추기 위해 합을 나눕니다.

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t = 7 (\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t - \sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t)$

단계 2

$\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙이 성립되도록 합을 더 작은 크기의 부분합으로 나눕니다.

$\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t = \sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 \sum_{t = 1}^{9} t$

단계 2.2

$\sum_{t = 1}^{9} t^{2}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

차수가 $2$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

단계 2.2.2

공식에 값을 대입합니다.

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$9$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

단계 2.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

단계 2.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

단계 2.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

단계 2.2.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

단계 2.2.3.2.2

$9$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

단계 2.2.3.2.3

$3$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

단계 2.2.3.2.4

$18$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

단계 2.2.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.3.1

$30$ 에 $19$ 을 곱합니다.

$\frac{570}{2}$

단계 2.2.3.3.2

$570$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$285$

단계 2.3

$7 \sum_{t = 1}^{9} t$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

차수가 $1$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

단계 2.3.2

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(- 7) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$9$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 7 \frac{9 \cdot 10}{2}$

단계 2.3.3.2

$9$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$- 7 (\frac{90}{2})$

단계 2.3.3.3

$90$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- 7 \cdot 45$

단계 2.3.3.4

$- 7$ 에 $45$ 을 곱합니다.

$- 315$

단계 2.4

합계 결과를 더합니다.

$285 - 315$

단계 2.5

$285$ 에서 $315$ 을 뺍니다.

$- 30$

단계 3

$\sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 $t$ 값에 대하여 급수를 전개합니다.

$1^{2} - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

단계 3.2.2

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - 7 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

단계 3.2.3

$1$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$- 6 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

단계 3.2.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 6 + 4 - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

단계 3.2.5

$- 7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 6 + 4 - 14 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

단계 3.2.6

$4$ 에서 $14$ 을 뺍니다.

$- 6 - 10 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

단계 3.2.7

$- 6$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$- 16 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

단계 3.2.8

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 16 + 9 - 7 \cdot 3$

단계 3.2.9

$- 7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 16 + 9 - 21$

단계 3.2.10

$9$ 에서 $21$ 을 뺍니다.

$- 16 - 12$

단계 3.2.11

$- 16$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$- 28$

단계 4

합을 구한 값으로 바꿉니다.

$7 (- 30 + 28)$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 30$ 를 $28$ 에 더합니다.

$7 \cdot - 2$

단계 5.2

$7$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 14$